有限数学示例

$\sqrt{x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 25$

解题步骤 1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{x^{2} + 2 x y + y^{2}}}^{2} = 25^{2}$

解题步骤 2

化简方程的两边。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} + 2 x y + y^{2}}$ 重写成 ${(x^{2} + 2 x y + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(x^{2} + 2 x y + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 25^{2}$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

化简 ${({(x^{2} + 2 x y + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

将 ${({(x^{2} + 2 x y + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(x^{2} + 2 x y + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 25^{2}$

解题步骤 2.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(x^{2} + 2 x y + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 25^{2}$

解题步骤 2.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(x^{2} + 2 x y + y^{2})}^{1} = 25^{2}$

解题步骤 2.2.1.2

化简。

$x^{2} + 2 x y + y^{2} = 25^{2}$

解题步骤 2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1

对 $25$ 进行 $2$ 次方运算。

$x^{2} + 2 x y + y^{2} = 625$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

从等式两边同时减去 $625$ 。

$x^{2} + 2 x y + y^{2} - 625 = 0$

解题步骤 3.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.3

将 $a = 1$ 、 $b = 2 y$ 和 $c = y^{2} - 625$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 2 y \pm \sqrt{{(2 y)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (y^{2} - 625))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

化简分子。

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解题步骤 3.4.1.1

添加圆括号。

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{{(2 y)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (y^{2} - 625))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.1.2

使 $u = 1 \cdot (y^{2} - 625)$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $1 \cdot (y^{2} - 625)$ 。

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解题步骤 3.4.1.2.1

对 $2 y$ 运用乘积法则。

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{2^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.1.2.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{4 y^{2} - 4 u}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.1.3

从 $4 y^{2} - 4 u$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 3.4.1.3.1

从 $4 y^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{4 (y^{2}) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.1.3.2

从 $- 4 u$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.1.3.3

从 $4 (y^{2}) + 4 (- u)$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - u)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.1.4

使用 $1 \cdot (y^{2} - 625)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - (1 \cdot (y^{2} - 625)))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.1.5

化简。

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解题步骤 3.4.1.5.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.1.5.1.1

将 $y^{2} - 625$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - (y^{2} - 625))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.1.5.1.2

运用分配律。

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - y^{2} + 625)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.1.5.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 625$ 。

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{4 (y^{2} - y^{2} + 625)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.1.5.2

从 $y^{2}$ 中减去 $y^{2}$ 。

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{4 (0 + 625)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.1.5.3

将 $0$ 和 $625$ 相加。

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{4 \cdot 625}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.1.6

将 $4$ 乘以 $625$ 。

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{2500}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.1.7

将 $2500$ 重写为 $50^{2}$ 。

$x = \frac{- 2 y \pm \sqrt{50^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.1.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \frac{- 2 y \pm 50}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 y \pm 50}{2}$

解题步骤 3.4.3

化简 $\frac{- 2 y \pm 50}{2}$ 。

$x = - y \pm 25$

解题步骤 3.5

最终答案为两个解的组合。

$x = - y + 25$

$x = - y - 25$

$x = - y + 25$

$x = - y - 25$

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